Mathématiques Cours, exercices et problèmes Terminale S

Mathématiques
Cours, exercices et problèmes
Terminale S

François THIRIOUX

Lycée René Perrin – Ugine – Savoie

Francois.Thirioux@ac-grenoble.fr

2013-2014

version du 22 juin 2013

Compléments

Notations

Logiciels

Préambule

Pratique d’un cours polycopié

Le polycopié n’est qu’un résumé de cours. Il ne contient pas tous les schémas, exercices
d’application, algorithmes ou compléments prodigués en classe. Il est indispensable de tenir des
notes de cours afin de le compléter.

Certains passages vont au-delà des objectifs exigibles du programme de terminale S. Le
programme complet (B.O. spécial n°8 du 13/10/2011) indique clairement qu’on ne saurait se
restreindre aux capacités minimales attendues.

Une expression en italique indique une définition ou un point important.

Une liste de logiciels libres ou de liens librement accessibles est donnée sur le blog

www.ac-grenoble.fr/ugine/maths

Il faudra Geogebra (géométrie, courbes), LibreOffice (tableur) et Sage (programmation,
calcul formel). Ce dernier tourne uniquement sous Linux mais est accessible en ligne via
www.sagenb.org ou www.sagemath.org/eval.html .

Devoirs à la maison

Les exercices sont de difficulté très variable et les objectifs poursuivis sont divers :

⋆ Peu difficile – à faire par tous pour la préparation du bac.
⋆⋆ Moyennement difficile – à considérer pour toute poursuite d’études scientifiques.
⋆⋆⋆ Très difficile – à essayer pour toute poursuite d’études exigeante en maths.
Ces étoiles sont simplement un indicateur de la difficulté globale d’un exercice : certaines
questions peuvent être très simples !

1

Questions de cours

Les points suivants peuvent être abordés dans le cadre d’une restitution organisée de connais-

sances (ROC) à l’épreuve écrite du bac.

• 2 – Suites – Si (un) et (vn) sont deux suites telles que un 6 vn à partir d’un certain rang

et si lim un = +

alors lim vn = +

∞

.

∞

• 2 – Suites – Si une suite est croissante et converge vers ℓ alors tous les termes de cette

suite sont 6 ℓ.

• 2 – Suites – La suite (qn) avec q > 1 tend vers +
• 2 – Suites – Une suite croissante et non majorée tend vers +
• 6 – Exponentielle – Unicité d’une fonction f dérivable sur R vérifiant f ′ = f et f (0) = 1.
et
• 6 – Exponentielle – On a lim
• 9 – Conditionnement et indépendance – Si A et B sont deux évènements indépendants

lim
x→−∞

ex = 0.

ex = +

x→+∞

∞

∞

∞

.

.

alors A et B aussi.

• 10 – Intégration – Si f est une fonction continue, positive et croissante sur [a; b] alors la

fonction F : x

f est une primitive de f .

x

7→ Z
a

• 11 – Produit scalaire – Théorème du toit : soient deux plans sécants contenant deux droites
parallèles ; alors la droite d’intersection des deux plans est parallèle aux deux droites.
• 11 – Produit scalaire – L’équation ax+by+cz+d = 0 (avec a, b, c non tous nuls) caractérise

les points d’un plan.

• 11 – Produit scalaire – Une droite est orthogonale à toute droite d’un plan ssi elle est

orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

• 13 – Lois de probabilité – Une v.a. T qui suit une loi exponentielle est sans vieillissement :

• 13 – Lois de probabilité – L’espérance d’une v.a. suivant la loi exponentielle de paramètre

PT >t(T > t + h) = P(T > h).

λ vaut

1
λ

.

• 13 – Lois de probabilité – Pour α

]0; 1[ et X une v.a. de loi

(0; 1), il existe un unique

∈

N

réel positif uα vérifiant P(

uα 6 X 6 uα) = 1

α.

−
• 13 – Lois de probabilité – Si Xn est une v.a. qui suit la loi
p(1

−

on a lim

P

n→+∞

Xn
n ∈

(cid:18)

In

= 1

α où In =

(cid:19)

−

p


−

uα q

(n, p) alors pour tout α
p)

p(1

p)

∈

]0; 1[

; p + uα q

−
√n

.


B
−
√n

• 13 – Lois de probabilité – Soit p une proportion fixée ; lorsque n est assez grand, l’intervalle




Xn
n −

1
√n

;

Xn
n

”

+

1
√n #

contient la proportion p avec une probabilité d’au moins 0, 95.

2

Table des matières

I Cours et exercices – Tronc commun

10

1 Limites

11
1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Suites numériques

18
2.1 Récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Propriétés des suites réelles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Existence de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Continuité

27
3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Dérivation

32
4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3 Variations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 Fonctions trigonométriques

39
5.1 Cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3 Propriétés
5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6 Exponentielle

45
6.1 Construction et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2 Propriétés algébriques et notation exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.3 Propriétés analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.4 Construction de l’exponentielle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3

7 Nombres complexes

54
7.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.2 Conjugué et module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.3 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.4 Propriétés géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.5 Exponentielle complexe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.6 Cercles et rotations
7.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

8 Logarithme

65
8.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.2 Propriétés
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.3 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9 Conditionnement et indépendance

72
9.1 Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.2 Conditionnement et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.3 Probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

10 Intégration

80
10.1 Intégrale d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
10.2 Propriétés
10.3 Calcul d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

11 Produit scalaire

92
11.1 Expressions du produit scalaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11.2 Plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

12 Droites et plans

97
12.1 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
12.2 Plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
12.3 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
12.4 Intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
12.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

13 Lois de probabilité

101
13.1 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
13.2 Densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
13.3 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
13.4 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4