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J.F.C.
p. 1
J.F. COSSUTTA jean-francois.cossutta@wanadoo.fr
EDHEC 2013
1) a) ∀n ∈ N∗,
1
n
− 1
n + 1
=
(n + 1) − n
n (n + 1)
=
1
n (n + 1)
·
1
an
EXERCICE 1
=
1
an
∀n ∈ N∗,
=
1
n
− 1
·
n + 1
r∑
(
r∑
)
∀r ∈ N∗,
1
n
− 1
n + 1
= 1 − 1
r + 1
par ”t´elescopage”.
Alors
lim
r→+∞
= lim
r→+∞
= 1. Ainsi :
(
)
1 − 1
r + 1
n=1
n=1
1
an
=
r∑
n=1
1
an
la s´erie de terme g´en´eral
converge et
= 1.
1
an
+∞∑
n=1
1
an
b) Soit n un ´el´ement de N∗.
a1 + a2 + · · · + an =
ak =
k (k + 1) =
n∑
n∑
n∑
n∑
k2 +
k =
n (n + 1) (2n + 1)
6
+
n (n + 1)
2
=
n (n + 1)
6
(
2n + 1 + 3
)
.
k=1
k=1
k=1
k=1
a1 + a2 + · · · + an =
n (n + 1) (2n + 4)
6
=
n (n + 1) (n + 2)
3
·
Alors un =
n
a1 + a2 + · · · + an
=
n
n (n+1) (n+2)
3
=
3
(n + 1) (n + 2)
·
∀n ∈ N∗, un =
3
(n + 1) (n + 2)
·
c) ∀n ∈ N∗, un =
3
(n + 1) (n + 2)
3
an+1
·
=
1
an
Comme la s´erie de terme g´en´eral
converge, la s´erie de terme g´en´eral
converge ´egalement.
3
an+1
Alors la s´erie de terme g´en´eral un converge. De plus :
+∞∑
+∞∑
+∞∑
+∞∑
(
)
1
an+1
= 3
1
an
= 3
1
an
− 1
a1
n=1
n=1
n=2
n=1
un = 3
(
= 3
1 −
1
1 (1 + 1)
)
)
(
1 − 1
2
=
·
3
2
= 3
La s´erie de terme g´en´eral un converge et
un =
+∞∑
n=1
·
3
2
I Remarque
Il (cid:19)etait sans doute plus rapide d’utiliser la m^eme m(cid:19)ethode que dans 1) a) et d’(cid:19)ecrire que :
∀r ∈ N∗,
un = 3
r∑
n=1
(
r∑
n=1
1
n + 1
− 1
n + 2
)
(
= 3
1
2
− 1
r + 2
)
· · · J
J.F.C.
p. 2
+∞∑
n=1
3
2
un =
6 2 = 2 × 1 = 2
+∞∑
n=1
·
1
an
+∞∑
n=1
un 6 2
+∞∑
n=1
·
1
an
2) a) et b) Nous allons regrouper le tout dans un mˆeme programme. Nous ´ecrirons une version r´ecursive de fact
(fonction fact) et une version it´erative de fact (fonction fact2).
Calculer a1 + a2 + · · · + an en appelant `a chaque fois la fonction fact est une h´er´esie. Nous donnerons donc une fonction
qui calcule honorablement un (fonction u) et nous ´ecrirons aussi ce qu’attend le concepteur (programme principal).
else fact:=n*fact(n-1); end;
1 Program Edhec_2013;
2
3 function fact(n:integer):integer;
4
5 Begin if n=0 then fact:=1
6
7
8 function fact2(n:integer):integer;
9
10 var k,a:integer;
11
12 begin
13 a:=1;
14 for k:=1 to n do a:=a*k;
15 fact2:=a;
16 end;
17
18 function u(n:integer):real;
19
20 var k,f,s:integer;
21
22 begin
23 f:=1;s:=1;
24 for k:=2 to n do
begin
25
f:=f*k;s:=s+f;
end;
27
28 u:=n/s;
29 end;
30
31 var n,k,ubu:integer;
32
33 begin
34
35 write(’Donner n. n=’);readln(n);
36
37 ubu:=1;
38
39 for k:=2 to n do ubu:=ubu+fact(k);
40
41 writeln(’u_’,n,’=’,n/ubu);
42
43 end.
26
c) ∀n ∈ N∗,
1
an
=
=
1
n!
1n
n!
· Or le cours indique que pour tout r´eel x, la s´erie de terme g´en´eral
converge. Ainsi :
J.F.C.
p. 3
xn
n!
d) Soit n un ´el´ement de N∗.
ak =
k! > n! > 0. Donc
et n > 0. Alors :
n∑
n∑
k=1
k=1
La s´erie de terme g´en´eral
converge.
1
an
1
n!
> 1
n∑
ak
k=1
1
(n − 1)!
=
n
n!
> n
n∑
=
n
a1 + a2 + · · · + an
= un.
ak
k=1
∀n ∈ N∗, un 6
1
(n − 1)!
·
e) ∀n ∈ N∗, 0 6 un 6
1
(n − 1)!
et la s´erie de terme g´en´eral
converge.
1
(n − 1)!
Les r`egles de comparaison sur les s´eries `a termes positifs montrent alors que la s´erie de terme g´en´eral un converge.
La s´erie de terme g´en´eral un converge.
∀n ∈ N∗, un 6
donc
un 6
1
(n − 1)!
+∞∑
n=1
+∞∑
+∞∑
un 6
n=1
n=1
1
(n − 1)!
=
+∞∑
n=0
1
n!
= e et
+∞∑
n=1
+∞∑
1
(n − 1)!
1
an
=
Or 2 6 e donc 2 6 2 e − e et ainsi e 6 2
car les deux s´eries convergent.
+∞∑
+∞∑
1
n!
− 1
0!
= e − 1.
n=1
n=1
n=0
)
(
e − 1
. Alors
un 6 e 6 2
)
(
e − 1
= 2
1
n!
=
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
·
1
an
+∞∑
n=1
un 6 2
+∞∑
n=1
·
1
an
On revient au cas g(cid:19)en(cid:19)eral.
3) Soit n un ´el´ement de N∗. Soit < ., . > le produit scalaire canonique de Rn et ∥.∥ la norme associ´ee.
Dans l’espace vectoriel euclidien
, l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz indique que :
(
Rn, < ., . >
)
∀(x, y) ∈ Rn × Rn, | < x, y > | 6 ∥x∥ ∥y∥. Ce qui revient `a dire que :
∀(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, ∀(y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn,
xk yk
6
∀(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, ∀(y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn,
Notons que ∀k ∈ N∗, ak > 0. Alors :
(
1 + 2 + · · · + n
)2
) =
Alors ce qui pr´ec`ede permet d’´ecrire que :
(
1 + 2 + · · · + n
)2 6
)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
v
u
u
t
n∑
v
u
u
t
n∑
x2
k
)2
)
k=1
(
n∑
6
(
xk yk
x2
k
(
n∑
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
k=1
(
n∑
k=1
y2
k. Ou que :
)
k=1
) (
n∑
k=1
y2
k
.
)2
.
√
ak × k
√
ak
) (
(
n∑
(
n∑
k=1
(
)2
n∑
k
=
k=1
(
n∑
(√
k=1
)2
ak
k=1
k=1
)
)2
k
√
ak
. Donc :
(
1 + 2 + · · · + n
)2 6
ak
(
n∑
) (
n∑
)
k=1
k=1
(
a1 + a2 + · · · + an
)
=
k2
ak
∀n ∈ N∗,
(
1 + 2 + · · · + n
)2 6
(
a1 + a2 + · · · + an
)
(
1
a1
4
a2
+
(
+ · · · +
)
·
n2
an
1
a1
+
4
a2
+ · · · +
)
·
n2
an
Ou :
(
n∑
)2
(
n∑
) (
n∑
∀n ∈ N∗,
ak
6
ak
k=1
k=1
k=1
)
·
k2
ak
J.F.C.
p. 4
4) a) Soit n un ´el´ement de N∗.
(
)
Notons que : 4
1
n2
−
1
(n + 1)2
(n + 1)2 − n2
(
= 4
)2 = 4
(
n2 + 2n + 1 − n2
)2 = 4
(
n (n + 1)
2n + 1
n (n + 1)
)2 =
(
2n + 1
n (n+1)
2
·
)2
n (n + 1)
(
Or
n (n + 1)
2
= 1 + 2 + · · · + n donc 4
1
n2
−
1
(n + 1)2
2n + 1
(1 + 2 + · · · + n)2
·
)
)
=
(
1
a1
+
4
a2
+ · · · +
)
.
n2
an
Rappelons que
(
1 + 2 + · · · + n
)2 6
(
a1 + a2 + · · · + an
(
)2
De plus
1 + 2 + · · · + n
et a1 + a2 + · · · + an sont strictement positifs. Alors :
1
a1 + a2 + · · · + an
6
1
(
1 + 2 + · · · + n
)2
1
a1
+
4
a2
(
+ · · · +
=
(
)
n2
an
De plus 2n + 1 est positif, ainsi :
2n + 1
a1 + a2 + · · · + an
6
(
2n + 1
1 + 2 + · · · + n
(
)2
k=1
∀n ∈ N∗,
2n + 1
a1 + a2 + · · · + an
6 4
1
n2
−
1
(n + 1)2
= 4
k2
ak
) n∑
k2
ak
·
k=1
1
1 + 2 + · · · + n
n∑
)2
k2
ak
·
n∑
k=1
(
1
n2
−
1
(n + 1)2
) n∑
k=1
k2
ak
·
· Transformons le second terme.
b) Soit N dans N∗. D’apr`es ce qui pr´ec`ede :
N∑
N∑
(
(
2n + 1
a1 + a2 + · · · + an
(
(
6
4
4
(
(
1
n2
1
n2
−
1
(n + 1)2
−
1
(n + 1)2
n=1
) n∑
k=1
) n∑
k=1
n=1
N∑
n=1
N∑
n=1
)
)
4
k2
ak
k2
ak
1
(n + 1)2
(
[
n∑
1
n2
−
=
N∑
n=1
k=1
(
N∑
N∑
[(
) n∑
k=1
(
4
1
n2
1
n2
= 4
N∑
n=k
k=1
(
(
)
k2
ak
)
])
−
1
(n + 1)2
−
1
(n + 1)2
) n∑
k2
ak
k2
ak
)
Un petit ”t´elescopage” donne alors :
4
1
n2
−
1
(n + 1)2
6 1
k2 donc ∀k ∈ N∗,
[
k2
ak
1
k2
−
(
k2
ak
(
k=1
k2
ak
)]
(
−
1
k2
) n∑
k2
ak
k=1
n=1
)
1
(N + 1)2
)
N∑
= 4
(
k=1
(
1
(N + 1)2
) n∑
)
k2
ak
k=1
6 4
N∑
k=1
·
1
ak
6 4
· Ainsi :
N∑
k=1
1
ak
2n + 1
a1 + a2 + · · · + an
6
4
1
n2
−
1
(n + 1)2
N∑
n=1
k2
ak
> 0 et
Or ∀k ∈ N∗,
(
(
N∑
4
1
n2
−
1
(n + 1)2
n=1
Alors
N∑
n=1
· En commutant les deux sommes il vient :
)
])
[
N∑
(
N∑
1
n2
−
1
(n + 1)2
)]
.
k2
ak
(
= 4
N∑
k=1
k=1
[
k2
ak
)
= 4
n=k
1
k2
−
1
(N + 1)2
)]
.
1
k2
−
1
(N + 1)2
6 k2
ak
1
k2 =
1
ak
· Donc :
∀N ∈ N∗,
N∑
n=1
2n + 1
a1 + a2 + · · · + an
6 4
N∑
k=1
·
1
ak
J.F.C.
p. 5
c) La s´erie de terme g´en´eral
est convergente (par hypoth`ese) et `a termes positifs donc ∀N ∈ N∗,
1
an
N∑
+∞∑
6
1
ak
·
1
ak
k=1
k=1
Ainsi la s´erie de terme g´en´eral
est `a termes positifs et la suite de ses sommes partielles est major´ee
Alors ∀N ∈ N∗,
N∑
n=1
2n + 1
a1 + a2 + · · · + an
6 4
N∑
k=1
1
ak
6 4
+∞∑
k=1
·
1
ak
2n + 1
a1 + a2 + · · · + an
par 4
· Elle est donc convergente.
+∞∑
k=1
1
ak
La s´erie de terme g´en´eral
2n + 1
a1 + a2 + · · · + an
converge.
et a1 +a2 +· · ·+an > 0 donc 0 6 un =
n
a1 + a2 + · · · + an
6
n + 1
2
a1 + a2 + · · · + an
=
1
2
2n + 1
a1 + a2 + · · · + an
·
Soit n un ´el´ement de N∗. un =
n
a1 + a2 + · · · + an
·
0 6 n 6 n+
1
2
Ainsi ∀n ∈ N∗, 0 6 un 6 1
2
·
2n + 1
a1 + a2 + · · · + an
2n + 1
a1 + a2 + · · · + an
De plus la s´erie de terme g´en´eral
converge donc il en est de mˆeme pour la s´erie de terme g´en´eral
2n + 1
a1 + a2 + · · · + an
1
2
Les r`egles de comparaison sur les s´eries `a termes positifs montrent alors que la s´erie de terme g´en´eral un converge.
·
De plus :
+∞∑
n=1
un 6 1
2
+∞∑
n=1
2n + 1
a1 + a2 + · · · + an
6 1
2
(
)
4
+∞∑
n=1
1
an
= 2
+∞∑
n=1
·
1
an
La s´erie de terme g´en´eral un converge et
un 6 2
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
·
1
an