Exo7 – Cours de mathématiques – Exo7 : Cours et exercices …

Courbes paramétrées

VidØo (cid:132) partie 1. Notions de base
VidØo (cid:132) partie 2. Tangente (cid:224) une courbe paramØtrØe
VidØo (cid:132) partie 3. Points singuliers (cid:21) Branches infinies
VidØo (cid:132) partie 4. Plan d’Øtude d’une courbe paramØtrØe
VidØo (cid:132) partie 5. Courbes en polaires : thØorie
VidØo (cid:132) partie 6. Courbes en polaires : exemples
Fiche d’exercices (cid:135) Courbes planes

Dans ce chapitre nous allons voir les propriétés fondamentales des courbes paramétrées. Commençons par présenter
une courbe particulièrement intéressante. La cycloïde est la courbe que parcourt un point choisi de la roue d’un vélo,
lorsque le vélo avance. Les coordonnées (x, y) de ce point M varient en fonction du temps :

(cid:26) x(t) = r(t − sin t)
y(t) = r(1 − cos t)

où r est le rayon de la roue.

y

x

La cycloïde a des propriétés remarquables. Par exemple, la cycloïde renversée est une courbe brachistochrone : c’est-à-
dire que c’est la courbe qui permet à une bille d’arriver le plus vite possible d’un point A à un point B. Contrairement à
ce que l’on pourrait croire ce n’est pas une ligne droite, mais bel et bien la cycloïde. Sur le dessin suivant les deux
billes sont lâchées en A à l’instant t0, l’une sur le segment [AB] ; elle aura donc une accélération constante. La seconde
parcourt la cycloïde renversée, ayant une tangente verticale en A et passant par B. La bille accélère beaucoup au début
et elle atteint B bien avant l’autre bille (à l’instant t4 sur le dessin). Notez que la bille passe même par des positions
en-dessous de B (par exemple en t3).

t3

t1

A

t2

t1

t2

t4

t3

B

t4

1. NOTIONS DE BASE 2

COURBES PARAMÉTRÉES

1. Notions de base

1.1. Définition d’une courbe paramétrée

Définition 1.
Une courbe paramétrée plane est une application

d’un sous-ensemble D de (cid:82) dans (cid:82)2.

f : D ⊂ (cid:82) → (cid:82)2
(cid:55)→ f (t)

t

Ainsi, une courbe paramétrée est une application qui, à un réel t (le paramètre), associe un point du plan. On parle
(cid:138)
ou écrire en abrégé t (cid:55)→ M (t) ou t (cid:55)→ (cid:128) x(t)
f : D ⊂ (cid:82) → (cid:82)2
aussi d’arc paramétré. On peut aussi la noter
.
y(t)
(cid:55)→ M (t)

t

Enfin en identifiant (cid:67) avec (cid:82)2, on note aussi t (cid:55)→ z(t) = x(t) + i y(t) avec l’identification usuelle entre le point
M (t) = (cid:128) x(t)
y(t)

et son affixe z(t) = x(t) + i y(t).

(cid:138)

y

y(t)

M (t) = (cid:0)x(t), y(t)(cid:1)

x(t)

x

Par la suite, une courbe sera fréquemment décrite de manière très synthétique sous une forme du type

(cid:26) x(t) = 3 ln t

y(t) = 2t 2 + 1

,

t ∈]0, +∞[

ou

z(t) = ei t ,

t ∈ [0, 2π].

Il faut comprendre que x et y désignent des fonctions de D dans (cid:82) ou que z désigne une fonction de D dans (cid:67). Nous
connaissons déjà des exemples de paramétrisations.

Exemple 1.
• t (cid:55)→ (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π[ : une paramétrisation du cercle trigonométrique.
• t (cid:55)→ (2t − 3, 3t + 1), t ∈ (cid:82) : une paramétrisation de la droite passant par le point A(−3, 1) et de vecteur directeur

(cid:126)u(2, 3).

• λ (cid:55)→ (cid:0)(1 − λ)xA
• Si f est une fonction d’un domaine D de (cid:82) à valeurs dans (cid:82), une paramétrisation du graphe de f , c’est-à-dire de

(cid:1), λ ∈ [0, 1] : une paramétrisation du segment [AB].

+ λxB, (1 − λ) yA

+ λ yB

la courbe d’équation y = f (x), est

(cid:26) x(t) = t

y(t) = f (t) .

y

M ( π

2

)

sin t

M (t)

M (π)

M (0)
x

cos t

M ( 3π

)

2

y

M (2)

M (1)

(cid:126)u

A

M (0)

x

M (−1)

COURBES PARAMÉTRÉES

1. NOTIONS DE BASE 3

y

y(t) = f (t)

M (t)

x(t) = t

x

y

A
M (0)

B
M (1)

M (λ)

x

Il est important de comprendre qu’une courbe paramétrée ne se réduit pas au dessin, malgré le vocabulaire utilisé,
mais c’est bel et bien une application. Le graphe de la courbe porte le nom suivant :

Définition 2.
Le support d’une courbe paramétrée f : D ⊂ (cid:82) → (cid:82)2
(cid:55)→ f (t)

t

est l’ensemble des points M (t) où t décrit D.

Néanmoins par la suite, quand cela ne pose pas de problème, nous identifierons ces deux notions en employant le
mot courbe pour désigner indifféremment à la fois l’application et son graphe. Des courbes paramétrées différentes
peuvent avoir un même support. C’est par exemple le cas des courbes :

[0, 2π[ →

(cid:82)2

t

(cid:55)→ (cos t, sin t)

et

[0, 4π[ →

(cid:82)2

t

(cid:55)→ (cos t, sin t)

dont le support est un cercle, parcouru une seule fois pour la première paramétrisation et deux fois pour l’autre (figure
de gauche).

sin t

M (t)

(−1, 0)

1−t2
1+t2

cos t

2t
1+t2

M (t)

Plus surprenant, la courbe

(cid:18) 1 − t 2
1 + t 2

(cid:19)

,

t (cid:55)→

2t
1 + t 2
est une paramétrisation du cercle privé du point (−1, 0), avec des coordonnées qui sont des fractions rationnelles
(figure de droite).
Ainsi, la seule donnée du support ne suffit pas à définir un arc paramétré, qui est donc plus qu’un simple dessin. C’est
une courbe munie d’un mode de parcours. Sur cette courbe, on avance mais on peut revenir en arrière, on peut la
parcourir une ou plusieurs fois, au gré du paramètre, celui-ci n’étant d’ailleurs jamais visible sur le dessin. On « voit »
x(t), y(t), mais pas t.

t ∈ (cid:82),

,

Interprétation cinématique. La cinématique est l’étude des mouvements. Le paramètre t s’interprète comme le temps.
On affine alors le vocabulaire : la courbe paramétrée s’appelle plutôt point en mouvement et le support de cette courbe
porte le nom de trajectoire. Dans ce cas, on peut dire que M (t) est la position du point M à l’instant t.

1.2. Réduction du domaine d’étude

Rappelons tout d’abord l’effet de quelques transformations géométriques usuelles sur le point M (x, y) (x et y désignant
les coordonnées de M dans un repère orthonormé (O, (cid:126)i, (cid:126)j) donné).
• Translation de vecteur (cid:126)u(a, b) : t (cid:126)u
• Réflexion d’axe (Ox) : s(Ox)(M ) = (x, − y).

(M ) = (x + a, y + b).

COURBES PARAMÉTRÉES

1. NOTIONS DE BASE 4

(M ) = (−x, − y).

• Réflexion d’axe (O y) : s(O y)(M ) = (−x, y).
• Symétrie centrale de centre O : sO
• Symétrie centrale de centre I(a, b) : sI
• Réflexion d’axe la droite (D) d’équation y = x : sD
• Réflexion d’axe la droite (D(cid:48)) d’équation y = −x : sD(cid:48) (M ) = (− y, −x).
• Rotation d’angle
• Rotation d’angle − π
Voici la représentation graphique de quelques-unes de ces transformations.

π
2 autour de O : rotO,π/2

2 autour de O : rotO,−π/2

(M ) = (2a − x, 2b − y).

(M ) = (− y, x).

(M ) = ( y, −x).

(M ) = ( y, x).

y

(M ) = (x + a, y + b)

t (cid:126)u

M = (x, y)

(cid:126)u

O

x

M = (x, y)

x

y

O

y

M = (x, y)

O

x

s(Ox)(M ) = (x, − y)

rotO,π/2

(M ) = (− y, x)

y

π
2

M = (x, y)

(M ) = (−x, − y)

sO

O

x

On utilise ces transformations pour réduire le domaine d’étude d’une courbe paramétrée. Nous le ferons à travers
quatre exercices.

Exemple 2.
Déterminer un domaine d’étude le plus simple possible de la courbe

(cid:26) x(t) = t − 3
y(t) = 1 − 3

2 sin t
2 cos t

Solution.
Pour t ∈ (cid:82),

M (t + 2π) = (cid:0)t + 2π − 3

2 sin(t + 2π), 1 − 3

2 cos(t + 2π)(cid:1)

= (t − 3

2 sin t, 1 − 3

2 cos t) + (2π, 0) = t (cid:126)u

(cid:0)M (t)(cid:1)

où (cid:126)u = (2π, 0). Donc, on étudie l’arc et on en trace le support sur un intervalle de longueur 2π au choix, comme
[−π, π] par exemple, puis on obtient la courbe complète par translations de vecteurs k · (2π, 0) = (2kπ, 0), k ∈ (cid:90).
Pour t ∈ [−π, π],

2 sin t), 1 − 3
On étudie la courbe et on en trace le support sur [0, π] (première figure), ensuite on effectue la réflexion d’axe (O y)
(deuxième figure), puis on obtient la courbe complète par translations de vecteurs k(cid:126)u, k ∈ (cid:90) (troisième figure).

M (−t) = (cid:0) − (t − 3

2 cos t(cid:1) = s(O y)

(cid:0)M (t)(cid:1).

y

y

x

y

x

x

1. NOTIONS DE BASE 5

COURBES PARAMÉTRÉES

Exemple 3.

Déterminer un domaine d’étude le plus simple possible d’une courbe de Lissajous

(cid:26) x(t) = sin(2t)
y(t) = sin(3t)

Solution.
• Pour t ∈ (cid:82), M (t + 2π) = M (t) et on obtient la courbe complète quand t décrit [−π, π].
• Pour t ∈ [−π, π], M (−t) = (cid:0) − sin(2t), − sin(3t)(cid:1) = sO

(cid:0)M (t)(cid:1). On étudie et on construit la courbe pour t ∈ [0, π],

puis on obtient la courbe complète par symétrie centrale de centre O.

• Pour t ∈ [0, π], M (π − t) = (cid:0) sin(2π − 2t), sin(3π − 3t)(cid:1) = (cid:0) sin(−2t), sin(π − 3t)(cid:1) = (cid:0) − sin(2t), sin(3t)(cid:1) =
] (première figure), on effectue la réflexion d’axe
s(O y)
(O y) (deuxième figure), puis on obtient la courbe complète par symétrie centrale de centre O (troisième figure).

(cid:0)M (t)(cid:1). On étudie et on construit la courbe pour t ∈ [0,

π
2

y

y

y

x

x

x

Exemple 4.

Déterminer un domaine d’étude le plus simple possible de l’arc

Indication : on pourra, entre autres, considérer la transformation t (cid:55)→ 1/t.






x(t) = t
1 + t 4
y(t) = t 3
1 + t 4

Solution.
Pour tout réel t, M (t) est bien défini.
• Pour t ∈ (cid:82), M (−t) = sO

complète par symétrie centrale de centre O.

• Pour t ∈]0, +∞[,

(cid:0)M (t)(cid:1). On étudie et on construit l’arc quand t décrit [0, +∞[, puis on obtient la courbe

M

(cid:139)

(cid:129) 1
t

,

=

(cid:18) 1/t

1 + 1/t 4

1/t 3
1 + 1/t 4
= (cid:0) y(t), x(t)(cid:1) = s( y=x)
)(cid:1) avec t2
= 1/t1, et si t1

(cid:19)

=

(cid:18) t 3

1 + t 4

(cid:19)

,

t
1 + t 4

(cid:0)M (t)(cid:1).
∈]0, 1] alors t2

) = s( y=x)

Autrement dit, M (t2
∈ [1, +∞[. Puisque la fonction
t (cid:55)→ 1
t réalise une bijection de [1, +∞[ sur ]0, 1], alors on étudie et on construit la courbe quand t décrit ]0, 1]
(première figure), puis on effectue la réflexion d’axe la première bissectrice (deuxième figure) puis on obtient la
courbe complète par symétrie centrale de centre O et enfin en plaçant le point M (0) = (0, 0) (troisième figure).

(cid:0)M (t1

y

y

y

x

x

x

Exemple 5.
Déterminer un domaine d’étude le plus simple possible de l’arc z = 1
3
une transformation géométrique simple laissant la courbe globalement invariante.

(cid:0)2ei t + e−2 i t (cid:1). En calculant z(t + 2π

), trouver

3

Solution.
• Pour t ∈ (cid:82), z(t + 2π) = 1
3

t décrit [−π, π].

(cid:0)2ei(t+2π) + e−2 i(t+2π)(cid:1) = 1

(cid:0)2ei t + e−2 i t (cid:1) = z(t). La courbe complète est obtenue quand

3