Couples et vecteurs de variables al eatoires Pr eparation …

Couples et vecteurs de variables al´eatoires
Pr´eparation `a l’agr´egation interne

1 Couples et vecteurs al´eatoires discrets

1.1 Loi conjointe

On se donne X et Y deux variables al´eatoires discr`etes avec X(Ω) = {xi, i ∈ N} et Y (Ω) =
{yj, j ∈ N}. La loi conjointe du couple (X, Y ) est donn´ee par (X, Y )(Ω) (ou par X(Ω) et
Y (Ω)) ainsi que par les probabilit´es

P(X = x, Y = y) = P{ω, X(ω) = x et Y (ω) = y}, pour tout couple (x, y) ∈ (X, Y )(Ω).

Remarque : On doit bien entendu avoir (cid:80)

x,y P(X = x, Y = y) = 1.

Plus g´en´eralement, si X1, . . . , Xn sont n variables al´eatoires discr`etes `a valeurs dans N, la
loi conjointe du vecteur (X1, . . . , Xn) est donn´ee par l’ensemble-image (X1, . . . , Xn)(Ω) ⊂ Nn
ainsi que par les probabilit´es P(X1 = i1, . . . , Xn = in), pour tout n-uplet (i1, . . . , in) ∈ Nn.

Exemple 1 : Fixons p ∈]0, 1[ et λ > 0 et consid´erons le couple de variables al´eatoires (X, Y ) `a
valeurs dans {0, 1} × N dont la loi est donn´ee par :

P(X = 0, Y = 0) = 1 − p
P(X = 1, Y = k) = pe−λλk/k!, pour tout k ∈ N
P(X = j, Y = k) = 0 sinon.

On a bien (cid:80)

i,j P(X = i, Y = j) = 1 : on a donc bien ´ecrit la loi d’un couple al´eatoire discret.

Exemple 2 : On dispose d’une urne contenant quatre jetons num´erot´es de 1 `a 4, et on tire au
sort successivement deux jetons sans remise. On note (X, Y ) les r´esultats des deux tirages.

On a : P(X = i, Y = i) = 0 pour tout i entre 1 et 4 et P(X = i, Y = j) = 1/12 si

1 ≤ i, j ≤ 4 et i (cid:54)= j.

On peut ´ecrire les probabilit´es sous la forme du tableau suivant (o`u par exemple dans la

deuxi`eme case de la premi`ere ligne, on lit P(X = 1, Y = 2)) :

XY
1
2
3
4

4

2

1
0
1/12
1/12 1/12
1/12 1/12 1/12

3
1/12 1/12 1/12
1/12 1/12
1/12
0

0

0

Exemple 3 : Loi trinomiale. On se fixe un nombre entier n strictement positif et deux param`etres
r´eels positifs px et py tels que px + py ≤ 1. La loi trinomiale (n, px, py) est la loi du couple (X, Y )
tel que (X, Y )(Ω) ∈ N2 et donn´ee pour tout (i, j) ∈ N2 tels que i + j ≤ n par :

P(X = i, Y = j) =

n!
i!j!(n − i − j)!

xpj
pi

y(1 − px − py)n−i−j,

2

et P(X = i, Y = j) = 0 sinon.

Exercice : Montrer que l’on d´efinit bien ainsi la loi d’un couple al´eatoire.

La loi trinomiale est une extension de la loi binomiale. Imaginons en effet une exp´erience
qui a trois issues possibles, not´ee x, y et z, avec comme probabilit´e de r´ealisation px, py et
pz = 1−px −py. R´ep´etons n fois cette exp´erience (n est fix´e) de fa¸con ind´ependante et comptons
le nombre d’apparitions de x (nombre not´e X) et de y (not´e Z) parmi ces n r´ep´etitions. C’est
alors un exercice de d´enombrement que de d´emontrer que le couple (X, Y ) suit alors une loi
trinomiale de param`etres (n, px, py).

1.2 Lois marginales

D´efinition 1.1 Les (deux) lois marginales du couple (X, Y ) sont les lois des variables al´ea-
toires X et Y . On les obtient de la fa¸con suivante :

P(X = x) =

P(X = x, Y = y),

P(Y = y) =

P(X = x, Y = y).

(cid:88)

y∈Y (Ω)
(cid:88)

x∈X(Ω)

Preuve : On a

{X = x} = {X = x, Y ∈ Y (Ω)} =

{X = x, Y = y}.

(cid:91)

y∈Y (Ω)

Comme la r´eunion est d´enombrable et disjointe, il vient :

P(X = x) =

P(X = x, Y = y).

(cid:88)

y∈Y (Ω)

(cid:3)
Plus g´en´eralement, un vecteur (X1, . . . , Xn) `a valeurs dans Zn poss`ede n lois marginales
unidimensionnelles, mais ´egalement n(n − 1) lois marginales bidimensionnelles, et ainsi de suite.
On a par exemple

P(X1 = x) =

P(X1 = x, X2 = x2, . . . , Xn = xn).

(cid:88)

(x2,…,xn)∈Zn−1

Reprenons les exemples pr´ec´edents :
Exemple 1.
D´eterminons la loi de X : X est `a valeurs dans {0, 1} et on a :

P(X = 0) =

P(X = 0, Y = j) = 1 − p.

(cid:88)

j∈N

De la mˆeme fa¸con :

P(X = 1) =

P(X = 1, Y = j) =

pe−λλj/j! = p.

(cid:88)

j∈N

(cid:88)

j≥0

La variable al´eatoire X suit donc une loi de Bernoulli de param`etre p. Calculons aussi la loi de
Y :

P(Y = 0) = P(X = 0, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = 1 − p + pe−λ.

Et pour tout j ≥ 1,

P(Y = j) = P(X = 0, Y = j) + P(X = 1, Y = j) = pe−λλj/j!.

3

Exemple 2 : Il suffit de sommer en colonne pour avoir la loi de X, et en ligne pour obtenir celle
de Y . En pratique, on peut ajouter une colonne et une ligne au tableau pour y ´ecrire les lois de
X et Y . Et avant de conclure, on prend le soin de v´erifier que la somme de cette colonne (et de
cette ligne) vaut 1.
On trouve ici que X et Y suivent une loi uniforme sur {1, 2, 3, 4}.

Exemple 3 : On consid`ere le couple (X, Y ) de loi trinomiale (n, px, py). D´eterminons la loi
marginale de X : fixons j ∈ {0, . . . , n} et ´evaluons P(X = j).

On a

P(X = j) =

P(X = j, Y = k)

n
(cid:88)

k=0
n−j
(cid:88)

k=0

n−j
(cid:88)

k=0

=

=

=

=

P(X = j, Y = k) +

P(X = j, Y = k)

n
(cid:88)

k=n−j+1

n!
j!k!(n − j − k)!

xpk
pj

y(1 − px − py)n−j−k + 0

pj
x

n−j
(cid:88)

k=0

(n − j)!
k!(n − j − k)!

n!
j!(n − j)!
(cid:19)
(cid:18)n
j

x(1 − px)n−j
pj

pk
y(1 − px − py)n−j−k

La variable al´eatoire X suit donc une loi Bin(n, px). Un calcul similaire montre que Y suit

une loi binomiale Bin(n, py).

1.3 Loi de f (X, Y )

Probl`eme : On dispose d’un couple de variables al´eatoires discr`etes (X, Y ) dont on connaˆıt
la loi conjointe et on voudrait connaˆıtre la loi de la variable al´eatoire Z = f (X, Y ), o`u f :
X(Ω) × Y (Ω) → R est une fonction donn´ee. Par exemple, on a souvent besoin de connaˆıtre la
loi de X + Y , ou celle de X − Y , ou de XY . Et d´eterminer la loi de X `a partir de celle de
(X, Y ) revient `a consid´erer la fonction f (x, y) = x.

Proposition 1.2 On a Z(Ω) = f ((X, Y )(Ω)) et pour tout z ∈ f ((X, Y )(Ω)), on a

P(Z = z) =

P(X = x, Y = y).

(cid:88)

(x,y)∈(X,Y )(Ω),f (x,y)=z

4

Exemple : Reprenons une nouvelle fois l’exemple 1 et consid´erons la fonction f (x, y) = xy. La
variable al´eatoire XY est `a valeurs dans N et on a

P(XY = 0) = P(X = 0, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = 1 − p + pe−λ

et, pour tout k ∈ N∗,

P(XY = k) = P(X = 1, Y = k) = pe−λ λk
k!

.

Un cas particulier important. Nous consid´erons ici la fonction f (x, y) = x + y. On obtient :

P(X + Y = z) =

P(X = x, Y = y)

(cid:88)

(x,y)∈(X,Y )(Ω),x+y=z

P(X = x, Y = z − x)

P(X = z − y, Y = y)

=

=

(cid:88)

x∈X(Ω)
(cid:88)

y∈Y (Ω)

Plus g´en´eralement, si X = (X1, . . . , Xn) est un vecteur al´eatoire discret et f : X(Ω) → R

est une fonction donn´ee, on a :

P(f (X1, . . . , Xn) = z) =

P(X1 = x1, . . . , Xn = xn).

(cid:88)

x1,…,xn,f (x1,…,xn)=z

On en d´eduit le corollaire fondamental suivant :

Proposition 1.3 Soient X et Y deux variables al´eatoires discr`etes et int´egrables. Alors la
variable al´eatoire Z = X + Y est int´egrable et on a E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).

Preuve : En effet, on vient de voir que Z est une variable al´eatoire discr`ete et que sa loi est
donn´ee par : pour tout z ∈ (X + Y )(Ω),

On a donc

Puis

P(X + Y = z) =

P(X = x, Y = z − x)

(cid:88)

x∈X(Ω)

E(|X + Y |) =

P(X = x, Y = z − x)

(cid:88)

(cid:88)



|z|

z∈(X+Y )(Ω)

x∈X(Ω)

E(|X + Y |) =

|x + (z − x)|P(X = x, Y = z − x)

(cid:88)

(cid:88)





z∈(X+Y )(Ω)

x∈X(Ω)









En utilisant l’in´egalit´e triangulaire, il vient :

E(|X + Y |) ≤

(|x| + |z − x|)P(X = x, Y = z − x)









(cid:88)

(cid:88)

z∈(X+Y )(Ω)

x∈X(Ω)

(cid:88)

(cid:88)

≤

z∈(X+Y )(Ω)

x∈X(Ω)

|x|P(X = x, Y = z − x)



 +





(cid:88)

(cid:88)

+

z∈(X+Y )(Ω)

x∈X(Ω)

|z − x|P(X = x, Y = z − x)









´Etudions tout d’abord la premi`ere somme :

(cid:88)

(cid:88)

z∈(X+Y )(Ω)

x∈X(Ω)

|x|P(X = x, Y = z − x)

 =

P(X = x, Y = z − x)





|x|

(cid:88)

z∈(X+Y )(Ω)

(cid:88)

x∈X(Ω)
(cid:88)

x∈X(Ω)

=

[|x|P(X = x)] = E(|X|)

Passons `a la deuxi`eme somme : sommer sur x ∈ X(Ω) ou sur x tel que z − x ∈ Y (Ω) ne

change pas la valeur de cette somme. On a donc

5













(cid:88)

(cid:88)

z∈(X+Y )(Ω)

x∈X(Ω)

|z − x|P(X = x, Y = z − x)

 =

|z − x|P(X = x, Y = z − x)



(cid:88)

(cid:88)

z∈(X+Y )(Ω)

z−x∈Y (Ω)









=

=

=

z∈(X+Y )(Ω)

y∈Y (Ω)



|y|

(cid:88)

z∈(X+Y )(Ω)

(cid:88)

y∈Y (Ω)
(cid:88)

y∈Y (Ω)

|y|P(Y = y) = E(|Y |)

(cid:88)

(cid:88)

|y|P(X = z − y, Y = y)

P(X = z − y, Y = y)













On remarque donc que si X et Y sont int´egrables, X + Y l’est ´egalement, et en effectuant le
mˆeme calcul sans les valeurs absolues, on conclut que E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).

Exemple : Supposons que (X, Y ) suit une loi trinomiale (n, px, py) et calculons la loi de X + Y .
Cette variable al´eatoire est `a valeurs dans N et on a, pour tout entier k :

P(X + Y = k) =

P(X = j, Y = k − j).

n
(cid:88)

j=0

Pour tout k > n, chacun des termes de cette somme est nul donc P(X + Y = k) = 0.