Loading...
Reload document 
Open in new tab Concours de recrutement de professeur des écoles, Avril 2016
Corrigé non officiel de l’épreuve de mathématiques
Groupement académique 3
Les parties en italique sont des compléments qui n’étaient pas attendus des candidats.
Première partie (13 points)
Partie A—Questions préliminaires
Il en résulte que BC = 10 cm.
1. Le triangle ABC est rectangle en A, on a donc !
BC 2 = AB2 + AC 2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100
.
2. Dans le triangle ABC, rectangle en A, on a !
tan ABC! =
donc !
ABC! ≈ 37°
AC
AB
=
6
8
3. Le quadrilatère ADEF a trois angles droits, c’est donc un rectangle. Par conséquent ses
diagonales [AE] et [DF] ont la même longueur.
Partie B—Étude analytique du problème.
1. Cas particulier
a. D étant sur [AB], BD = AB – AD ainsi, si AD = 3 cm, BD = 5 cm.
BD et A sont alignés, BE et C également et (AC) et parallèle à (DE). On peut donc
appliquer le théorème de Thales aux triangles BAC et BDE, ce qui permet de conclure que
BD
BA
=
DE
AC
d’où on tire
DE =
BD × AC
BA
=
5 × 6
8
= 3, 75
cm.
b. Le triangle ADF est rectangle en A donc
DF 2 = AD2 + AF 2 = AD2 + DE 2 = 32 + 3, 752 = 9 + 14,0625 = 23,0625
Il en résulte que !
DF = 23,0625
.
2. Cas général
a. D étant sur [AB], le nombre x, mesure en cm du segment [AD], peut prendre toutes les
valeurs comprises entre 0 et 8.
b. Pour les raisons exposées à la question 1.a., on a !
DE =
d’où :
BD × AC
BA
DE =
) × 6
(
8 − x
8
=
8 × 6
8
−
6x
8
= 6 − 0, 75x
c. Pour les mêmes raisons qu’à la question 1.b. :
DF 2 = AD2 + AF 2 = x 2 + 6 − 0, 75x
= x 2 + 36 − 9x + 0,5625x 2 = 1,5625x 2 − 9x + 36
(
)2
d. Si dans l’expression de la question précédente on donne à x la valeur 3, on obtient :
primaths.fr
!
!
!
!
!
!
!
DF 2 = 1,5625 × 9 − 9 × 3 + 36 = 14,0625 − 27 + 36 = 23,0625
On a alors !
DF = 23,0625
.
3. Recherche de la valeur de x pour laquelle DF est minimale.
a. Seule la proposition 2 convient.
b. Le tableur semble montrer que !
DF 2
(on peut également savoir que c’est bien le cas puisque !
du second degré en x, le coefficient du terme de second degré étant positif).
décroit jusqu’à une certaine valeur de x et croit ensuite
s’exprime comme une fonction
DF 2
En admettant que c’est bien ce qui se passe, le tableur montre que le minimum est atteint pour
une valeur de x comprise entre 2,5 et 3,5 ce qui justifie d’étudier de façon plus détaillée cet
intervalle.
c. La valeur de x pour laquelle !
DF 2
est minimal est comprise entre 2,87 et 2,89
Partie C—Résolution du problème par une méthode géométrique
1. OH < OM parce que la plus courte distance d’un point à une droite est obtenue en suivant la perpendiculaire à cette droite passant par ce point. Autre argument possible : le triangle OMH étant rectangle en H, son hypoténuse est plus longue que les côtés de l’angle droit. 2. a. Conformément à la question précédente, il faut placer le point E à l’intersection de (BC) et de la perpendiculaire à (BC) passant par A. L’énoncé n’imposant pas de méthode de construction, celle-ci peut être faite à l’équerre. Le schéma ci-contre n’est pas aux dimensions demandées. b. L’aire du triangle rectangle ABC peut se calculer en utilisant les côtés de l’angle droit, elle est égale à ! soit 24 ! cm2 6 × 8 2 Elle peut aussi se calculer à l’aide du côté [BC] et de la hauteur [AE] relative à ce côté. Elle s’exprime alors ainsi : ! soit 5AE. On a donc 5AE = 24 donc AE = 4,8 cm. AE × BC 2 Comme AE = DF, la valeur minimale de DF, correspondant à la configuration construite en 2.a, est donc de 4,8 cm. primaths.fr ! c. Les triangles rectangles AEB et ADE ont le même angle de sommet A, par conséquent en exprimant le cosinus de cet angle à l’aide de chacun des deux triangles on obtient deux nombres égaux : ! d’où ! AD = AD AE = AE AB AE × AE AB = 4,8 × 4,8 8 = 2,88 Pour que DF soit minimale, il faut donc placer D à 2,88 cm du point A. On pouvait également utiliser la mesure d’angle calculée en A.2. mais comme on ne dispose que d’une valeur approchée de cette mesure on ne peut en déduire qu’ une approximation de la longueur AD. Exercice 1 Deuxième partie (13 points) 1. En une seconde, la lumière parcourt 300 000 000 m soit 300 000 km. En 5 secondes, elle parcourt donc 1 500 000 km et en 500 secondes 100 fois plus c’est à dire 150 000 000 km. Le temps nécessaire à un signal lumineux pour aller du Soleil à la Terre est donc de 500 secondes soit 8 minutes et 20 secondes. 2. En une seconde, la lumière parcourt 300 000 000 m soit 300 000 km. En une année de 365,25 jours elle parcourt donc un nombre de km égal à 300 000 × 3600 × 24 × 365,25 milliards de kilomètres). 3. soit environ ! 9,5 × 1012 km (ou neuf mille cinq cents a. 1 UA = 150 000 000 km donc 3 UA = 450 000 000 km et 30 UA = 4 500 000 000 km. La distance moyenne du Soleil à Neptune est de 30 UA. b. La réponse à la question précédente revient à dire que Neptune est 30 fois plus éloigné du Soleil que la Terre. La distance Soleil-Terre sur la maquette doit donc être de 1 000 mm : 30 soit environ 33 mm. Exercice 2 L’affirmation 1 est vraie en effet 1215 g - 840 g = 375 g ce qui indique que la masse de la moitié de l’eau est de 375 g. La masse de la bouteille vide est alors de 840 g - 375 g soit 465 g. L’affirmation 2 est vraie. En effet 5 élèves sont partis en vacances à la montagne seulement l’hiver (10 -5) et 3 élèves seulement l’été (8-5). En tout 13 élèves sont donc partis à la montagne (5 + 5 + 3) il y en a donc bien 12 qui ne sont pas partis à la montagne (25 - 13). primaths.fr ! L’affirmation 3 est fausse. En effet quand x vaut 1 la fonction f vaut -2 alors que la fonction représentée par le graphique semble avoir pour valeur 4. (Bien que l’usage soit de représenter x sur l’axe horizontal et f(x) sur l’axe vertical, on aurait aimé que ce soit explicité ). L’affirmation 4 est fausse. En effet la somme des chiffres de chacun des nombres proposés est 9. Le nombre 9 est donc un diviseur commun à ces deux nombres, le plus grand de leurs diviseurs communs ne peut donc pas être 2. Exercice 3 1. b. 1 2 3. a. Si le nombre de départ est 2, on obtient successivement : 2 × 4 = 8 8 + 7 = 15 152 = 225 Le résultat affiché est bien 225. Si le nombre de départ est 1/2, on obtient successivement : × 4 = 2 2 + 7 = 9 92 = 81 Le nombre obtenu est 81 2. Si on note a le nombre de départ, on calcule successivement 4a, 4a+7 et ! ( 4a + 7 )2 Or ! ( 4a + 7 )2 = 16a2 + 56a + 49 , le nombre obtenu est donc bien ! 16a2 + 56a + 49 a. Le nombre obtenu étant égal à ! 7 4 dire si ! a = − b. Le nombre étant égal à ! c’est à dire si ! ( a 16a + 56 16a2 + 56a + 49 ) = 0 . ( 4a + 7 )2 il est égal à 0 si et seulement si ! 4a + 7 = 0 c’est à , il est égal à 49 si et seulement si ! 16a2 + 56a = 0 Un produit est nul quand l’un de ses facteurs est nul, il y a donc deux solutions, l’une est a=0, l’autre est obtenue quand ! 16a + 56 = 0 c’est à dire quand ! a = − = − 56 16 7 2 On pouvait aussi raisonner à partir de l’expression sous forme d’un carré. Pour ! ( 4a + 7 )2 = 49 il faut et il suffit que ! ( 4a + 7 ) prenne une des deux valeurs suivantes : 7 ou -7 primaths.fr ! ! ! ! ! ! Troisième partie (14 points) Situation 1 1. Pour déterminer la longueur du contour il faut : Savoir mesurer la longueur de chacun des côtés. Savoir s’organiser pour prendre en compte chaque côté une fois et une seule. Savoir calculer la somme des longueurs mesurées. Un élève possédant ces quatre compétences peut réussir la tâche, il n’y a donc pas de quatrième compétence nécessaire malgré la formulation de la question. Selon les dimensions du gabarit et selon la façon dont les élèves prennent les mesures, il se peut que la troisième compétence soit à préciser et qu’on doive décrire des sous compétences comme « convertir des longueurs de mm en cm » ou « effectuer la somme de nombre décimaux ». 2. L’exercice de chacune des compétences décrites à la questions précédente peut donner lieu à des difficultés un élève peut par exemple : avoir du mal à effectuer les mesures de longueur parce que l’objet est petit et mobile ce qui rend l’usage de la règle graduée difficile. avoir du mal à calculer la somme de longueurs exprimées en cm et mm. • • • • • 3. a. Corentin semble avoir dessiné sur une feuille de papier quadrillé 5x5 en utilisant son gabarit puis mesuré sur sa figure. Les mesures effectuées sont assez précises. Il calcule ensuite la longueur totale en calculant séparément le nombre de cm et le nombre de mm. Une erreur se produit dans le report des longueurs mesurées : 2 cm 5 mm écrit à l’envers sur la figure devient 5 cm 2 mm dans le calcul de la somme. Le calcul du nombre total de mm est correct, mais une erreur se produit dans le calcul du nombre de cm : Corentin trouve 31 cm au lieu de 29. Corentin ne pense pas à remplacer 13 mm par 1 cm 3 mm pour retrouver l’écriture habituelle en cm et mm, avec un nombre de mm inférieur à 10. Nous faisons une hypothèse sur l’écriture 24 cm 21 mm figurant en dessous du premier résultat : il se peut que Corentin ait remarqué l’inversion (5cm 2mm pour 2cm 5mm) et ait tenté de la corriger sans refaire tous les calculs. Il a pour cela soustrait 7 cm, soit 5+2 alors qu’il aurait fallu en soustraire 3 (5-2) et a ajouté 7 mm en commettant une autre erreur puiqu’il trouve 21 mm alors qu’il devrait en trouver 20 si notre hypothèse est correcte. César fait un schéma à main levée sur lequel il reporte les mesures effectuées sur le gabarit. Ce schéma lui permet de prendre en compte chaque côté une fois et une seule. Les mesures de César sont assez précises et effectuées en cm, en utilisant l’écriture à virgule des nombres décimaux. primaths.fr