Annexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes …

 

 

Annexe 1

Programmes des classes
préparatoires aux Grandes Ecoles

Filière : scientifique

Voie : Mathématiques, physique et
sciences de l’ingénieur (MPSI)

Discipline : Mathématiques

Première année

© Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013
http://www.enseignementsup-recherche.gouv.fr

Classe préparatoire MPSI
Programme de mathématiques

Table des matières

Objectifs de formation

Description et prise en compte des compétences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unité de la formation scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Architecture et contenu du programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Organisation du texte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Usage de la liberté pédagogique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Premier semestre

Raisonnement et vocabulaire ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calculs algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nombres complexes et trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Techniques fondamentales de calcul en analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A – Inégalités dans (cid:82) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B – Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles ou complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C – Primitives et équations différentielles linéaires
Nombres réels et suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Limites, continuité, dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A – Limites et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B – Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analyse asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arithmétique dans l’ensemble des entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Structures algébriques usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polynômes et fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Deuxième semestre

Espaces vectoriels et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A – Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B – Espaces de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C – Applications linéaires
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D – Sous-espaces affines d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A – Calcul matriciel
B – Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C – Changements de bases, équivalence et similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D – Opérations élémentaires et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Groupe symétrique et déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A – Groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B – Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Espaces préhilbertiens réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A – Probabilités sur un univers fini
B – Variables aléatoires sur un espace probabilisé fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Le programme de mathématiques de MPSI s’inscrit entre deux continuités : en amont avec les programmes rénovés du
lycée, en aval avec les enseignements dispensés dans les grandes écoles, et plus généralement les poursuites d’études
universitaires. Il est conçu pour amener progressivement tous les étudiants au niveau requis pour poursuivre avec
succès un cursus d’ingénieur, de chercheur, d’enseignant, de scientifique, et aussi pour leur permettre de se former
tout au long de la vie.
Le programme du premier semestre est conçu de façon à viser trois objectifs majeurs :
– assurer la progressivité du passage aux études supérieures, en tenant compte des nouveaux programmes du cycle

terminal de la filière S, dont il consolide et élargit les acquis ;

– consolider la formation des étudiants dans les domaines de la logique, du raisonnement et des techniques de calcul,

qui sont des outils indispensables tant aux mathématiques qu’aux autres disciplines scientifiques ;

– présenter des notions nouvelles riches, de manière à susciter l’intérêt des étudiants.

Objectifs de formation

La formation mathématique en classe préparatoire scientifique vise deux objectifs :
– l’acquisition d’un solide bagage de connaissances et de méthodes permettant notamment de passer de la perception
intuitive de certaines notions à leur appropriation, afin de pouvoir les utiliser à un niveau supérieur, en mathé-
matiques et dans les autres disciplines. Ce degré d’appropriation suppose la maîtrise du cours, c’est-à-dire des
définitions, énoncés et démonstration des théorèmes figurant au programme ;

– le développement de compétences utiles aux scientifiques, qu’ils soient ingénieurs, chercheurs ou enseignants, pour
identifier les situations auxquelles ils sont confrontés, dégager les meilleures stratégies pour les résoudre, prendre
avec un recul suffisant des décisions dans un contexte complexe.

Pour répondre à cette double exigence, et en continuité avec les programmes de mathématiques du lycée, les pro-
grammes des classes préparatoires définissent un corpus de connaissances et de capacités, et explicitent six grandes
compétences qu’une activité mathématique bien conçue permet de développer :
– s’engager dans une recherche, mettre en œuvre des stratégies : découvrir une problématique, l’analyser, la trans-
former ou la simplifier, expérimenter sur des exemples, formuler des hypothèses, identifier des particularités ou des
analogies ;

– modéliser : extraire un problème de son contexte pour le traduire en langage mathématique, comparer un modèle à

la réalité, le valider, le critiquer ;

– représenter : choisir le cadre (numérique, algébrique, géométrique …) le mieux adapté pour traiter un problème ou

représenter un objet mathématique, passer d’un mode de représentation à un autre, changer de registre ;

– raisonner, argumenter : effectuer des inférences inductives et déductives, conduire une démonstration, confirmer

ou infirmer une conjecture ;

– calculer, utiliser le langage symbolique : manipuler des expressions contenant des symboles, organiser les dif-
férentes étapes d’un calcul complexe, effectuer un calcul automatisable à la main où à l’aide d’un instrument
(calculatrice, logiciel…), contrôler les résultats ;

– communiquer à l’écrit et à l’oral : comprendre les énoncés mathématiques écrits par d’autres, rédiger une solution

rigoureuse, présenter et défendre un travail mathématique.

Description et prise en compte des compétences

S’engager dans une recherche, mettre en œuvre des stratégies
Cette compétence vise à développer les attitudes de questionnement et de recherche, au travers de réelles activités
mathématiques, prenant place au sein ou en dehors de la classe. Les différents temps d’enseignement (cours, travaux
dirigés, heures d’interrogation, TIPE) doivent privilégier la découverte et l’exploitation de problématiques, la réflexion
sur les démarches suivies, les hypothèses formulées et les méthodes de résolution. Le professeur ne saurait limiter son
enseignement à un cours dogmatique : afin de développer les capacités d’autonomie des étudiants, il doit les amener
à se poser eux-mêmes des questions, à prendre en compte une problématique mathématique, à utiliser des outils
logiciels, et à s’appuyer sur la recherche et l’exploitation, individuelle ou en équipe, de documents.
Les travaux proposés aux étudiants en dehors des temps d’enseignement doivent combiner la résolution d’exercices
d’entraînement relevant de techniques bien répertoriées et l’étude de questions plus complexes. Posées sous forme de
problèmes ouverts, elles alimentent un travail de recherche individuel ou collectif, nécessitant la mobilisation d’un
large éventail de connaissances et de capacités.

Modéliser
Le programme présente des notions, méthodes et outils mathématiques permettant de modéliser l’état et l’évolution
de systèmes déterministes ou aléatoires issus de la rencontre du réel et du contexte, et éventuellement du traitement
qui en a été fait par la mécanique, la physique, la chimie, les sciences de l’ingénieur. Ces interprétations viennent
en retour éclairer les concepts fondamentaux de l’analyse, de l’algèbre linéaire, de la géométrie ou des probabilités.

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La modélisation contribue ainsi de façon essentielle à l’unité de la formation scientifique et valide les approches
interdisciplinaires. À cet effet, il importe de promouvoir l’étude de questions mettant en œuvre des interactions
entre les différents champs de connaissance scientifique (mathématiques et physique, mathématiques et chimie,
mathématiques et sciences industrielles, mathématiques et informatique).

Représenter
Un objet mathématique se prête en général à des représentations issues de différents cadres ou registres : algébrique,
géométrique, graphique, numérique. Élaborer une représentation, changer de cadre, traduire des informations dans
plusieurs registres sont des composantes de cette compétence. Ainsi, en analyse, le concept de fonction s’appréhende
à travers diverses représentations (graphique, numérique, formelle) ; en algèbre, un problème linéaire se prête à des
représentations de nature géométrique, matricielle ou algébrique ; un problème de probabilités peut recourir à un
arbre, un tableau, des ensembles. Le recours régulier à des figures ou à des croquis permet de développer une vision
géométrique des objets abstraits et favorise de fructueux transferts d’intuition.

Raisonner, argumenter
La pratique du raisonnement est au cœur de l’activité mathématique. Basé sur l’élaboration de liens déductifs ou
inductifs entre différents éléments, le raisonnement mathématique permet de produire une démonstration, qui en est la
forme aboutie et communicable. La présentation d’une démonstration par le professeur (ou dans un document) permet
aux étudiants de suivre et d’évaluer l’enchaînement des arguments qui la composent ; la pratique de la démonstration
leur apprend à créer et à exprimer eux-mêmes de tels arguments. L’intérêt de la construction d’un objet mathématique
ou de la démonstration d’un théorème repose sur ce qu’elles apportent à la compréhension-même de l’objet ou du
théorème : préciser une perception intuitive, analyser la portée des hypothèses, éclairer une situation, exploiter et
réinvestir des concepts et des résultats théoriques.

Calculer, manipuler des symboles, maîtriser le formalisme mathématique
Le calcul et la manipulation des symboles sont omniprésents dans les pratiques mathématiques. Ils en sont des
composantes essentielles, inséparables des raisonnements qui les guident ou qu’en sens inverse ils outillent.
Mener efficacement un calcul simple fait partie des compétences attendues des étudiants. En revanche, les situations
dont la gestion manuelle ne relèverait que de la technicité seront traitées à l’aide d’outils de calcul formel ou numérique.
La maîtrise des méthodes de calcul figurant au programme nécessite aussi la connaissance de leur cadre d’application,
l’anticipation et le contrôle des résultats qu’elles permettent d’obtenir.

Communiquer à l’écrit et à l’oral
La phase de mise au point d’un raisonnement et de rédaction d’une solution permet de développer les capacités
d’expression. La qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements, constituent des
objectifs très importants. La qualité de structuration des échanges entre le professeur et sa classe, entre le professeur
et chacun de ses étudiants, entre les étudiants eux-mêmes, doit également contribuer à développer des capacités
de communication (écoute et expression orale) à travers la formulation d’une question, d’une réponse, d’une idée,
d’hypothèses, l’argumentation de solutions ou l’exposé de démonstrations. Les travaux individuels ou en petits
groupes proposés aux étudiants en dehors du temps d’enseignement, au lycée ou à la maison, (interrogations orales,
devoirs libres, comptes rendus de travaux dirigés ou d’interrogations orales) contribuent fortement à développer cette
compétence. La communication utilise des moyens diversifiés : les étudiants doivent être capables de présenter un
travail clair et soigné, à l’écrit ou à l’oral, au tableau ou à l’aide d’un dispositif de projection.

L’intégration des compétences à la formation des étudiants permet à chacun d’eux de gérer ses propres apprentissages
de manière responsable en repérant ses points forts et ses points faibles, et en suivant leur évolution. Les compétences
se recouvrent largement et il importe de les considérer globalement : leur acquisition doit se faire dans le cadre de
situations suffisamment riches pour nécessiter la mobilisation de plusieurs d’entre elles.

Unité de la formation scientifique

Il est important de mettre en valeur l’interaction entre les différentes parties du programme, tant au niveau du cours
que des thèmes des travaux proposés aux étudiants. À titre d’exemples, la géométrie apparaît à la fois comme un
terrain propice à l’introduction de l’algèbre linéaire, mais aussi comme un champ d’utilisation des concepts développés
dans ce domaine du programme ; les probabilités utilisent le vocabulaire ensembliste et illustrent certains résultats
d’analyse.
Selon Galilée, fondateur de la science expérimentale, le grand livre de la nature est écrit en langage mathématique. Il
n’est donc pas surprenant que les mathématiques interagissent avec des champs de connaissances partagés par d’autres
disciplines. La globalité et la complexité du réel exigent le croisement des regards disciplinaires. Aussi le programme
valorise-t-il l’interprétation des concepts de l’analyse, de l’algèbre linéaire, de la géométrie et des probabilités en termes
de paramètres modélisant l’état et l’évolution de systèmes mécaniques, physiques ou chimiques (mouvement, vitesse
et accélération, signaux continus ou discrets, mesure de grandeurs, incertitudes…)

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La coopération des enseignants d’une même classe ou d’une même discipline et, plus largement, celle de l’ensemble
des enseignants d’un cursus donné, doit contribuer de façon efficace et cohérente à la qualité de ces interactions.
Il importe aussi que le contenu culturel et historique des mathématiques ne soit pas sacrifié au profit de la seule
technicité. En particulier, il peut s’avérer pertinent d’analyser l’interaction entre un contexte historique et social donné,
une problématique spécifique et la construction, pour la résoudre, d’outils mathématiques.

Architecture et contenu du programme

L’année est découpée en deux semestres. À l’intérieur de chaque semestre, un équilibre est réalisé entre les différents
champs du programme : analyse, algèbre, géométrie. S’y ajoute, au deuxième semestre, une introduction limitée d’un
enseignement de probabilités visant à consolider les notions figurant dans le programme de Terminale S et à préparer
celles qui seront ultérieurement introduites dans les grandes écoles ou les universités.
L’étude de chaque domaine permet de développer des aptitudes au raisonnement et à la modélisation, d’établir des
liens avec les autres disciplines, et de nourrir les thèmes susceptibles d’être abordés lors des TIPE.

En cohérence avec l’introduction d’un enseignement d’algorithmique au lycée, le programme encourage la démarche
algorithmique et le recours à l’outil informatique (calculatrices, logiciels). Il identifie un certain nombre d’algorithmes
qui doivent être connus et pratiqués par les étudiants. Ceux-ci doivent également savoir utiliser les fonctionnalités
graphiques des calculatrices et des logiciels.

Afin de contribuer au développement des compétences de modélisation et de représentation, le programme préconise
le recours à des figures géométriques pour aborder l’algèbre linéaire, les espaces euclidiens, les fonctions de variable
réelle. Les notions de géométrie affine et euclidienne étudiées au lycée sont reprises dans un cadre plus général.

Le programme d’algèbre comprend deux volets. Le premier est l’étude de l’arithmétique des entiers relatifs et des
polynômes à une indéterminée. Le second, nettement plus volumineux, est consacré aux notions de base de l’algèbre
linéaire, pour laquelle un équilibre est réalisé entre les points de vue géométrique et numérique. Il importe de souligner
le caractère général des méthodes linéaires, notamment à travers leurs interventions en analyse et en géométrie.

Le programme d’analyse est centré autour des concepts fondamentaux de fonction et de suite. Les interactions
entre les aspects discret et continu sont mises en valeur. Le programme d’analyse combine l’étude de problèmes
qualitatifs et quantitatifs, il développe conjointement l’étude du comportement global de suite ou de fonction avec
celle de leur comportement local ou asymptotique. À ce titre, les méthodes de l’analyse asymptotique font l’objet d’un
chapitre spécifique, qui est exploité ultérieurement dans l’étude des séries. Pour l’étude des solutions des équations, le
programme allie les problèmes d’existence et d’unicité, les méthodes de calcul exact et les méthodes d’approximation.

La pratique de calculs simples permet aux étudiants de s’approprier de manière effective les notions du programme. Le
choix a donc été fait d’introduire très tôt un module substantiel visant à consolider les pratiques de calcul (dérivation
des fonctions, calcul de primitives, résolution de certains types d’équations différentielles). Les théories sous-jacentes
sont étudiées ultérieurement, ce qui doit en faciliter l’assimilation.
Les étudiants doivent savoir mettre en œuvre directement (c’est-à-dire sans recourir à un instrument de calcul), sur des
exemples simples, un certain nombre de méthodes de calcul, mais aussi connaître leur cadre d’application et la forme
des résultats qu’elles permettent d’obtenir.

L’enseignement des probabilités se place dans le cadre des univers finis. Il a vocation à interagir avec le reste du
programme. La notion de variable aléatoire permet d’aborder des situations réelles nécessitant une modélisation
probabiliste.

Le volume global du programme a été conçu pour libérer des temps dédiés à une mise en activité effective des étudiants,
quel que soit le contexte proposé (cours, travaux dirigés, TIPE).

Organisation du texte

Les programmes définissent les objectifs de l’enseignement et décrivent les connaissances et les capacités exigibles des
étudiants ; ils précisent aussi certains points de terminologie et certaines notations. Ils fixent clairement les limites à
respecter tant au niveau de l’enseignement que des épreuves d’évaluation, y compris par les opérateurs de concours.
À l’intérieur de chaque semestre, le programme est décliné en chapitres. Chaque chapitre comporte un bandeau
définissant les objectifs essentiels et délimitant le cadre d’étude des notions qui lui sont relatives et un texte présenté en
deux colonnes : à gauche figurent les contenus du programme (connaissances et méthodes) ; à droite un commentaire
indique les capacités exigibles des étudiants, précise quelques notations ainsi que le sens ou les limites à donner à
certaines questions. À l’intérieur de chaque semestre, le professeur conduit en toute liberté, dans le respect de la
cohérence de la formation globale, l’organisation de son enseignement et le choix de ses méthodes. En particulier,
la chronologie retenue dans la présentation des différents chapitres de chaque semestre ne doit pas être interprétée
comme un modèle de progression. Cependant, la progression retenue au cours du premier semestre doit respecter les

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objectifs de l’enseignement dispensé au cours de cette période. Ces objectifs sont détaillés dans le bandeau qui suit le
titre « Premier semestre ».
Parmi les connaissances (définitions, notations, énoncés, démonstrations, méthodes, algorithmes…) et les capacités de
mobilisation de ces connaissances, le texte du programme délimite trois catégories :
– celles qui sont exigibles des étudiants : il s’agit de l’ensemble des points figurant dans la colonne de gauche des

différents chapitres ;

– celles qui sont indiquées dans les bandeaux ou dans la colonne de droite comme étant « hors programme ». Elles ne

doivent pas être traitées et ne peuvent faire l’objet d’aucune épreuve d’évaluation ;

– celles qui relèvent d’activités possibles ou souhaitables, mais qui ne sont pas exigibles des étudiants. Il s’agit en

particulier des activités proposées pour illustrer les différentes notions du programme.

Pour les démonstrations des théorèmes dont l’énoncé figure au programme et qui sont repérées dans la colonne de
droite par la locution « démonstration non exigible », le professeur est libre d’apprécier, selon le cas, s’il est souhaitable
de démontrer en détail le résultat considéré, d’indiquer seulement l’idée de sa démonstration, ou de l’admettre.
Afin de faciliter l’organisation du travail des étudiants et de montrer l’intérêt des notions étudiées, il convient d’en
aborder l’enseignement en coordination avec les autres disciplines scientifiques.
Les liens avec les disciplines scientifiques et technologiques sont identifiés par le symbole (cid:28)PC pour la physique et la
chimie, (cid:28) SI pour les sciences industrielles de l’ingénieur et (cid:28) I pour l’informatique.
On pourra aussi se reporter à l’appendice aux programmes Outils mathématiques pour la physique-chimie.

Usage de la liberté pédagogique

Dans le cadre de la liberté pédagogique qui lui est reconnue par la loi, le professeur choisit ses méthodes, sa progression,
ses problématiques. Il peut organiser son enseignement en respectant deux grands principes directeurs :
– pédagogue, il privilégie la mise en activité des étudiants en évitant tout dogmatisme : l’acquisition des connaissances
et des capacités est d’autant plus efficace que les étudiants sont acteurs de leur formation. La pédagogie mise en
œuvre développe la participation, la prise d’initiative et l’autonomie des étudiants. Le choix des problématiques et
des méthodes de résolution favorise cette mise en activité ;

– didacticien, il choisit le contexte favorable à l’acquisition des connaissances et au développement des compétences.
La mise en perspective d’une problématique avec l’histoire des sociétés, des sciences et des techniques, mais aussi
des questions d’actualité ou des débats d’idées, permet de motiver son enseignement.

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Premier semestre

Le premier semestre vise deux objectifs majeurs :
• aménager un passage progressif de la classe de Terminale à l’enseignement supérieur en commençant par renforcer
et approfondir les connaissances des bacheliers. À ce titre, le chapitre « Raisonnement et vocabulaire ensembliste »
regroupe des notions de logique et d’algèbre générale dont la plupart ont été mises en place au lycée. Il s’agit de les
consolider et de les structurer afin qu’elles soient maîtrisées par les étudiants à la fin du premier semestre. Ce chapitre
n’a pas vocation à être enseigné d’un seul tenant et en tout début de semestre. Le chapitre « Techniques fondamentales
de calcul en analyse » est axé sur la pratique des techniques de l’analyse réelle, basée sur l’application de théorèmes qui
sont admis à ce stade ;
• susciter la curiosité et l’intérêt des étudiants en leur présentant un spectre suffisamment large de problématiques et de
champs nouveaux. Les chapitres « Nombres réels et suites numériques », et « Limites, continuité, dérivabilité » instaurent
les fondements de l’analyse réelle. Y sont en particulier démontrés les théorèmes qui justifient les techniques présentées
dans le chapitre « Techniques fondamentales de calcul en analyse ». Par la possibilité qu’il offre de combiner beaucoup
d’idées et de techniques étudiées au cours du premier semestre, le chapitre « Polynômes et fractions rationnelles » peut
constituer un objet d’étude pertinent pour la fin du semestre.
Les ensembles de nombres usuels (cid:78), (cid:90), (cid:81), (cid:82), (cid:67) sont supposés connus.

Raisonnement et vocabulaire ensembliste

Ce chapitre regroupe les différents points de vocabulaire, notations et raisonnement nécessaires aux étudiants pour la
conception et la rédaction efficace d’une démonstration mathématique. Ces notions doivent être introduites de manière
progressive en vue d’être acquises en fin de premier semestre.
Le programme se limite strictement aux notions de base figurant ci-dessous. Toute étude systématique de la logique ou de
la théorie des ensembles est hors programme.

CONTENUS

CAPACITÉS & COMMENTAIRES

a) Rudiments de logique

Quantificateurs.

Implication, contraposition, équivalence.

Modes de raisonnement : par récurrence (faible et forte),
par contraposition, par l’absurde, par analyse-synthèse.

L’emploi de quantificateurs en guise d’abréviations est
exclu.
Les étudiants doivent savoir formuler la négation d’une
proposition.
On pourra relier le raisonnement par récurrence au fait
que toute partie non vide de (cid:78) possède un plus petit
élément. Toute construction et toute axiomatique de (cid:78)
sont hors programme.
Le raisonnement par analyse-synthèse est l’occasion de
préciser les notions de condition nécessaire et condition
suffisante.

b) Ensembles

Ensemble, appartenance, inclusion. Sous-ensemble (ou
partie).
Opérations sur les parties d’un ensemble : réunion, inter-
section, différence, passage au complémentaire.
Produit cartésien d’un nombre fini d’ensembles.
Ensemble des parties d’un ensemble.

Ensemble vide.

Notation P (E ).

Notation A B pour la différence et E A, A et (cid:217)A
complémentaire.

E pour le

c) Applications et relations

Application d’un ensemble dans un ensemble.
Graphe d’une application.

Le point de vue est intuitif : une application de E dans F
associe à tout élément de E un unique élément de F .
Le programme ne distingue pas les notions de fonction
et d’application.
Notations F (E , F ) et F E .

Famille d’éléments d’un ensemble.
Fonction indicatrice d’une partie d’un ensemble.
Restriction et prolongement.
Image directe.

Notation (cid:49)A.
Notation f |A.
Notation f (A).

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CONTENUS

CAPACITÉS & COMMENTAIRES

−1(B ). Cette notation pouvant prêter à confu-

Notation f
sion, on peut provisoirement en utiliser une autre.

Compatibilité de la notation f
image réciproque.

−1 avec la notation d’une

La notion d’ensemble quotient est hors programme.

Image réciproque.

Composition.
Injection, surjection. Composée de deux injections, de
deux surjections.
Bijection, réciproque. Composée de deux bijections, réci-
proque de la composée.
Relation binaire sur un ensemble.
Relation d’équivalence, classes d’équivalence.
Relations de congruence modulo un réel sur (cid:82), modulo
un entier sur (cid:90).
Relation d’ordre. Ordre partiel, total.

Calculs algébriques

a) Sommes et produits

Ce chapitre a pour but de présenter quelques notations et techniques fondamentales de calcul algébrique.

CONTENUS

CAPACITÉS & COMMENTAIRES

Notations

ai ,

ai ,

ai ,

ai .

(cid:88)

i ∈I

n
(cid:88)

i =1

(cid:89)

i ∈I

n
(cid:89)

i =1

Sommes et produits télescopiques, exemples de change-
ments d’indices et de regroupements de termes.

Somme et produit d’une famille finie de nombres com-
plexes.

Expressions simplifiées de

k,

n
(cid:88)

n
(cid:88)

n
(cid:88)

k2,

xk .

k=1
Factorisation de an − bn pour n ∈ (cid:78)∗
Sommes doubles. Produit de deux sommes finies,
sommes triangulaires.

k=1

k=0

.

b) Coefficients binomiaux et formule du binôme

Factorielle. Coefficients binomiaux.

Relation

(cid:195)

(cid:33)

(cid:195)

=

n
p

(cid:33)

.

n
n − p

Formule et triangle de Pascal.

Formule du binôme dans (cid:67).

c) Systèmes linéaires

Notation

(cid:195)

(cid:33)

n
p

.

Lien avec la méthode d’obtention des coefficients bino-
miaux utilisée en Première (dénombrement de chemins).

Système linéaire de n équations à p inconnues à coeffi-
cients dans (cid:82) ou (cid:67).

Système homogène associé. Structure de l’ensemble des
solutions.
Opérations élémentaires.
Algorithme du pivot.

(cid:28) PC et SI dans le cas n = p = 2.
Interprétation géométrique : intersection de droites dans
(cid:82)2, de plans dans (cid:82)3.

Notations Li ↔ L j , Li ← λLi (λ (cid:54)= 0), Li ← Li + λL j .
(cid:28) I : pour des systèmes de taille n > 3 ou p > 3, on utilise
l’outil informatique.

© Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013
http://www.enseignementsup-recherche.gouv.fr

Mathématiques MPSI
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